$a^b$ 与 $b^a$ 的大小关系
引言
一切要从这个比大小的问题说起。
小学就有过这样子的比较大小：$3^4$ 和 $4^3$ 哪个大？
这时，我们会把它们计算出来：
$$3^4 = 81, 4^3 = 64$$
$$∵ 81 > 64$$
$$∴ 3^4 > 4^3$$
接下来它又会问：当 $a ≥$ ___ 时，$a^b > b^a (a < b)$？
这时，我们会找规律，发现 $1^2 < 2^1$，$2^3 < 3^2$，而 $3^4 > 4^3$，那么答案就是 3 了。
但是，找规律这种投机取巧不严谨的方法，怎么能用呢？
函数的解法
提到比较大小，很自然地能想到利用函数的单调性。
- 令 $f(x) = \frac{lnx}{x}$ ，则 $f’(x) = 1 - lnx$
- 故 当 $0 < x < e$ 时，$f’(x) > 0$；当 $e < x$ 时，$f’(x) < 0$
- ∴ $f(x)$ 在 $[0, e]$ 上单调增，在 $[e, +∞]$ 上单调减
- 若 $0 < x_1 < x_2 < e$，则 $\frac{lnx_1}{x_1} < \frac{lnx_2}{x_2}$
- 则 $x_2lnx_1 < x_1lnx_2$
- 则 $lnx_1^{x_2} < lnx_2^{x_1}$
- 则 $x_1^{x_2} < x_2^{x_1}$
- 同理可证，$e < x_1 < x_2$ 时，$x_1^{x_2} > x_2^{x_1}$
通过这个证明，我们明确的知道了这个问题变号的临界值是：$e$
同构思想
那么问题来了，上面的过程中是怎么想到要构造 $f(x) = \frac{lnx}{x}$ 呢？